こんにちは。杉山です。
いきなりですが問題です！
〈問〉ここはとあるアメリカの番組スタジオ。
そして、あなたは今三つの扉の前に立たされています。
そのうちの一つの扉の向こうには豪華景品がおいてあり、残りの二つの扉の向こうにはなにもありません。
あなたにはそのうちの一つの扉を開ける権利が与えられています。
そしてあなたは真ん中の扉(黒扉)を選びました。
その後司会者が残り二つの扉の中で不正解の扉(オレンジ扉)を一つ選んで開けました。
あなたは最初に黒扉を選びましたが、ここで白扉に変更することもできます。
さて、ここからが問題です。
あなたが豪華景品を当てたい時、黒扉から白扉に変えるべきですか？それとも変えないべきですか？そもそも変えても変えなくてもどちらでもいいと思いますか？
さあ、考えてみてください！
直感でいいですよ。
豪華景品はあなたの想像にお任せします。
一億円でも十億円でもお菓子1年分でも何でもいいです！
それでは…
そろそろいいですか？
いいますね？
正解は…
変えるべきです！
初見かつちゃんとした理論の元「変えるべき」という選択をしたあなた。
今すぐMENSAの入会テストを受けてきてください。
あなたのIQはかなり高いです（笑）
そして、「え？」と思った人。
（こっちの方が多いと思います…ですよね！？）
分かります。ぼくも最初見たとき「扉変えても変えんくても正解の確率２分の１やし別に変えんくてもええやろ…」って思いました（笑）
でも変えたときの方が当たる確率上がるんですよね…
それはどういうことなのかってことを子どもでも分かるように説明していきます！
僕、こう見えても統計学学年一位(私立文系学部内)なんで安心して聞いてください！
絶対理解できるように説明します！！！
大きく分けて二つの理解方法があるのでそれぞれ説明していきます。
目次
確率を見てみる
まずはこの方法を説明していきます。
本当ならベイズの定理という確率統計の分野の説明をしないといけないのですが今回は“子どもでも分かるように”説明しないといけないのでその説明はしません！
なので安心してください
さて、本題に入りましょう。
まずは扉を“絶対に”後から変えてはいけないというルールを課した場合について考えていきます。
向かって左側の扉からA,B,Cとします。
そして今回のアタリはBとします。
では、考えていきましょう
これは簡単です。
ⅰ）あなたがAを選んだ場合…ハズレ
ⅱ）あなたがBを選んだ場合…アタリ
ⅲ）あなたがCを選んだ場合…ハズレ
∴（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）より
アタリの確率…1/3, ハズレの確率…2/3
これは自明ですよね！
つぎは扉を後から“絶対に”変えないといけないというルールを課した場合について考えていきます。
さっきと同じで向かって左の扉からA,B,Cとします。
そして今回のアタリもBとします。
ⅰ）あなたがAを選んだ場合
司会者はCの扉を開ける⇒AとBの扉が残る⇒あなたは絶対扉を変えないといけないのでBの扉を開ける…アタリ
ⅱ）あなたがBを選んだ場合
司会者はA(C)の扉を開ける⇒BとC(A)の扉が残る⇒あなたは絶対に扉を変えないといけないのでC(A)の扉を開ける…ハズレ
ⅲ）あなたがCを選んだ場合
司会者はAの扉を開ける⇒CとBの扉が残る⇒あなたは絶対に扉を変えないといけないのでBの扉を開ける…アタリ
∴（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）より
アタリの確率…2/3, ハズレの確率…1/3
そうなんです。
この結果から分かるように後から扉を変えた方がアタリの確率は上がるんです！
そして次はもっとわかりやすく説明するのでこれが分からなかった人たちは安心してください！！！
扉の数を増やしてみる
今までは扉の数を3つとしてきましたが今回は10個に増やしてみましょう！
するとどうなるでしょう？
まず最初にあなたが扉を選びます。次に司会者がハズレの扉をすべて開きます。
つまり、司会者は8個のハズレ扉を開きます。
今残っている扉はあなたが選んだ扉と司会者が開けなかった一つの扉のみです。
さあ、あなたは扉を変えますか？それとも変えませんか？
どっちの方が当たりやすいかはもう自明ですよね！
正解はもちろん
変える
ですよね。
変えなかった場合のアタリ確率は1/10です。
そして変えた場合のアタリ確率は9/10ですよね。
このように扉の数を増やせば直感的に理解できるはずです！
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さて、こんな感じです
とても面白いと思いませんか？
これはモンティ・ホール問題と呼ばれる、数学界では有名なお話です。
「モンティ・ホールってなに？？？」と思いますよね。
モンティ・ホールとはアメリカ人のとある男性です。
彼はアメリカのゲームショー番組「Let’s make a deal」で司会を務めていた人でした。
勘のいい方はお気付きでしょうが、この「Let’s make a deal」という番組の一つのコーナーでさっきの問題が出されてたんですよ！
実はこの問題、かなりの数学者を悩ましたんですよ。
最初、マリリンという数学者がこの問いに答えたのです。
そして、彼女の回答はこうでした。
「扉を変えるべきだ。なぜならドアを変えた場合には景品の当たる確率が二倍になるからだ。」
つまり正解だったんですね。
しかし、彼女の回答には「間違っている」という手紙が殺到したのでした。
なんとその手紙は10000通にも及んだそうです…
そして、そのうちの約1000通は博士号を持っている人からのものでした。
その内容は
「ドアを変えても確率は2分の1であり、３分の２にはならないだろ！！」という旨のものでした。
しかし、数年経ったころ、マリリンの答えが正しいということが証明されたのです。
なので、マリリンは「史上最もIQの高い女性」とも呼ばれたそうです。
と、今日はこんな感じでモンティ・ホール問題のことについてサクッと説明させてもらいました。
どうでしたか？
高校数学に少し毛が生えた程度の数学力しかない僕だからこそ、皆さんにわかりやすく説明できたんじゃないかなと思っています。
今日はここまでにしたいと思います。
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ほな、さよなら～。
