どうも！杉山JAPANです。
少し難しそうな題名ですができるだけわかりやすく書いてるので最後まで読んでもらえると嬉しいです！
さて、皆さんはオイラーの等式というものを知っていますか？自分は受験勉強として数学を学んでいる間に知りました。そしてこのオイラーの等式を理解するには文系数学で扱う範囲、つまり数学ⅠA、ⅡBを理解しているだけでは物足りないないので、その範囲を超えた学習を自ら取り組むことによって僕はその美しさをこの肌で感じることができました！それではどうぞ！
まず、オイラーの等式は数学界の中で最も美しい式のひとつであると言われています。
その等式はこちら！
いやあああ、とても美しい等式ですね！
おそらくこの式を初めて見た人にとってはこの美しさが全く伝わらないと思うのでちゃんと皆さんにもわかるように説明していきますね。
・ネイピア数「e」
まずこの「e」はネイピア数です。
これにもちゃんとした式があるので紹介したいと思います。
それがこちら！
手書きで汚くてごめんなさい🙏
公式からもわかるようにnの値が大きくなればなるほど値は大きくなります。
ネイピア数はよく銀行などの利子の増加に例えられます。
・iとπ
iは虚数単位といって、2乗すると-1になるものですよね。皆さんこれは高校の頃の数学Ⅰでやったと思うので「見たことある！」という人は多いと思います！
そしてπは小学生の頃にやった円周率を記号にしたものです。円周率は3.14159265….みたいなやつです！僕はここまでしか覚えてないですけど先程紹介したネイピア数と同じ超越数なのでほぼ無限に続きます！
これで記号の紹介は全部済みました。
おそらく皆さんもこれらが何を意味するかはわかったけれどこれがなんうつくしいの？と思っていると思うのでここからスパートかけて皆さんに美しさを理解してもらいます！覚悟しておいてください（笑）
と、その前に。
まず皆さんに「マクローリン展開」というものを理解してもらう必要があります。
指数関数や三角関数はΣを使って無限級数として表すことができます。
それはタイピングだとわかりにくいので紙に書きますね！
（うろ覚えなのでちょっと調べたのは黙っておこう…）
はい！こんな感じです！
そして次にsinxとcosxを足したものとe^xを比べてみたいとおもいます。
それを見てみると…
赤丸で囲ったところ以外は完全に一致していますよね！
でもこの違いをどうにかして埋めて完全一致させたいですよね…
どうしたら一致させられるのでしょうかねぇ
既に、勘の良い方はお気付きになられているかもしれませんが、ここで2乗すると-1になる「i」を使っていきます。
先ほどのマクローリン展開で出てきた「e^x」の「x」を「iθ」にchangeします！
すると
あれ？さっきのsinx+cosxの式の中の+とーが一致していますよ！
あとはsinx+cosxの式をe^iθに合わせるだけです！
いやぁ〜完全一致ですねこれは…
これによって
e^iθ=cosx+isinxが成り立ちます。
気持ちよくないですか？（笑）
そして、オイラーの等式の中にあるのにまだ出てきてない記号がありますよね。それは「π」です。
最後に「e^iθ」から「e^iπ」に変えます。
つまりθにπを代入します。
すると…
e^iπ=cosπ+isinπ
となります。
ここで数学Ⅰを学んだ人ならパッと来るはずです。右辺、なんか見たことありませんか？（なんかsinπの左側にiが付いてるのは無視で。）
そう、三角関数でやりましたよね！
こんな感じで！
そして上の写真から分かるように
cosπ=-1、sinπ=0でしたよね？（あ、弧度法じゃなくて度数法の写真使っちゃってますね。申し訳ないです。）
最後はわかりやすいように紙にまとめます！
非常にうつくしい。Excellent!!
あえて美しさを言語化するならば
「オイラーの等式は解析学（ネイピア数）と代数学（虚数解）と幾何学（円周率）という異なる3つの分野から集められてきた記号で構成されている。」
となります。
このように様々な難しそうな公式がたくさん出てきたけれど最終的にはこんなにもシンプルな式に終着してしまう。これに数学者たちは美しさを感じ取るのです。僕はもちろん数学者ではありませんがこの式を初めて理解した時、鳥肌が立つほど感動しました！
皆さんおそらくご存知の「君の名は」という映画で最後主人公とヒロインがたまたま再会することができたというシーンがありますがあんな感じです（笑）
そんな偶然がこのオイラーの等式には詰め込まれているのです。
最後に
皆さんオイラーの等式の美しさを理解してもらうことができたでしょうか？僕は1人でも共感してくれる人がいてくれればそれだけでとても幸せです（笑）
文系は数学しなくていいと思われがちですけどすこしでもやってみると割とハマるかもなので是非やってみてください！
では、今日はここら辺で終わりたいと思います。最後まで読んでくれて本当にありがとうございます！次はフェルマーの最終定理の証明編でお会いしましょう。ほな、さよなら〜。
